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1．引子。
在设计，创作折纸中，作为一种重要的技法，折“角”，过去大多是以各种各样的基本型作为基础不断探索曲折的进行着的。然而，当今的前川淳，目黑俊幸，美国的罗伯特兰库等人反复研究，即使采取某种基本型，（因为基本型是固定的，）从最初开始，对对于造型来说必要的要素就含有很高的自由度的设计，它的概念（也许是初衷的意思）将发生很大的改变。在本书中很多作品为了折出必要的角使用了一些设计的方法。在这里，我们任意举出一例向大家介绍折角的手法，希望能作为大家创作的道路来被活用。
2．在折纸中的角。
在考虑关于折纸中的角的时候，根据图1那样的伞的例子应该可以很容易理解。也就是说，在制作长度为a的伞的时候，需要半径为a的圆形布。把这个现象拿到折纸问题中来思考的话，同样的，要折出长为a的角的话，如图2所示，在纸张上半径为a的圆形领域是需要的。确实是这样，因为在折纸中只要确保了角的必要的长度，对于造型就足够了，像这样情况是很多的。这个圆形领域并不一定需要像伞那样完整的圆形。反而，如图3所示。在纸的边和顶点设置圆形领域实际上是有效的利用纸。从这层意思来看，应该还可以更加有效的利用纸。大多数折纸作品都是用纸的外周部折成角，把这种方法作为利用率高的手段，然而更重要的因素应该是，作为更加容易折的方法自然而然就被折纸者选择了。
3．为了折纸设计而进行的角的版面设计。
图4羚羊的设计。
图5简略化的基本树型构造
图6闭合环状化的基本构造
图7纸上的设计准备线的分配。
把图4的完成型简略化为图5 那样的角的集合体的基本树型构造。然后把简略化的基本树型构造从中间打开来，转换成为图6那样的闭合环形构（以下将其称呼为设计基准线）。接下来，把设计好的设计基准线像图7那样，沿着正方形的外周分配。在这里把角的顶点用●圆点表示。角和角之间的接点用○圆点表示，但是作为分配时的一个制约条件，彼此之间不得不用直线连结。在向下一个步骤进行之前，有必要检查一下是否确保了每一个必要的角。如图8所示，描绘各个●圆点所定的圆形领域，确定彼此之间没有产生干涉（指圆形之间产生像水波一样的互相干涉）。碰到干涉到的情况，就需要改正设计基准线。
4．设计
4－1基础式
接下来来探讨折出设计基准线上被分配的●圆点和○圆点的方法吧。拿出设计基准线上相邻的两个●圆点来看的话（如图9所示），这个时候，○圆点作为谷可能折出的图形有如图10所示的三角形。○圆点可能折出的三角形实际上像图11那样存在无数种可能，为了探求这些三角形顶点共通的条件。使用了图12所示的坐标系。在这里。l表示的是是坐标原点（指两个●点之间的中点）到○ 点的距离。考虑到原点到●点的距离的计算的便易性和泛用性，用单位长度来定义，因此坐标为（1，0）（－1，0）。结果是，顶点【坐标设为（x，y）】的函数关系式是（1），只要是满足该式的三角形，折起全部的○点就变成可能。将式子（1）变型一下，可以得出（2）式。这个关系只要有直尺和圆规，就很容易可以作出如图13所示的图。这个由函数关系式y＝f(x)描绘出的线在下面称呼其为设计轨迹线。
图9 边上取出的○点及相邻的●点。
图10○点及●点折出的三角形 图11 同上
图12求设计轨迹线的坐标 图13求圆形轨迹线的方法
接下来让我们来考察关于式子1的意义吧。设计轨迹线无限延长的情况下，会得到什么样的结果呢。由式子1推导出式子3。y/x，也就是求轨迹线上的点和原点连结的线段与x轴所成的倾斜度（正切值）。在这里，x趋向于无穷大时，可得到式子4，也就得到了与设计基准线所成角的α的表达式5。
设计轨迹线无限延长，即是在折纸中和蛇腹折等价的，这决定了如图14所示的蛇腹折中表示的角的分割比例。图15展示了蛇腹折设计中的一个例子。这是使干与枝的长度相等的情况下，L＝0。333，并从式子5中算出α=70.5度的例子。折成的样子如图16所示。接下来，试着把把式子1的适用范围扩大。虽说求出式子1的条件是，●点间连结成的直线上存在有○点，但是让我们试着探讨一下直线上不存在○点的情况下此式子的适用性吧！也就是说，如图17所示即使是●点连结成的线段上不存在○点的情况下，也有可能描绘出由式子1所定义的设计轨迹线。这作为后面要提到的内部设计的方法，有着重要的意义。关于在这种场合下折纸的成立性如下所示：（以下为方框中的内容）
如图18所示，做∠CAF的角平分线AE，∠GBC的角平分线BE，则△AFE和△ACE全等，△BGE和△BCE全等。因此线段EF=EC=EG,所以△EFD和△EGD全等，∠DFE=∠DGE,∠AFE=∠BGE=∠ACE=∠BEC,因此线段AE,DE,BE,CE可以把四边形ADBC外周如图19所示一边对其直线一边折起来。这个例子表明了可以使用设计轨迹线做出如图20所示的设计。这是想要折出细的角的时候的有效手段。
4－2 根据设计轨迹线设计
已经看了以上关于成为设计的基础的设计基准线及设计轨迹线的关系。接下来让我们试着把它实践于设计之中。首先，从设计基准线上的○开始把设计线按照图21的样子向着纸的内部延伸。在这里●点之间有两个○点的部分，例如像图22所示的从○点间任意的位置开始延伸都是可以的。实际上，因为不管是选定哪个○点，从○点间的中心点开始延伸的方法会使得实际操作起来更方便些，所以在这里的选择，在展开图的设计上扮演着十分重要的角色。从○点开始延伸的设计轨迹线在不与其他的设计轨迹线相交的情况下，如图23所示，延长到哪里都是有可能的（无限延伸的情况下，如上文所说，则会变成蛇腹折）。但是，对于成轴对称的设计基准线就会成为例外，根据图形的对称性，相对称的设计轨迹线交叉后也是可以延长（图24）。虽然设计轨迹线延伸至哪里在设计中很重要，但是在不和其他设计轨迹线相交的情况下，在实际的折纸工程中容易采用到纸的中心线为止的方法。在这次的例子中，设计轨迹线的延长是到与其他设计基准线的交叉点（也就是纸的中心线）为止的，最终得到如图25的设计轨迹线。接下来设计轨迹线的延长端点和设计基准线上的●连结成三角形（“即座”不懂得什么意思），如图26所示的设计能够实施，用这个部分可以做出能折出基本的角的展开图。
图22 ○点开始几种情况下求设计轨迹线的方法：从左侧开始延伸，从两点之间开始延伸，从右侧开始延伸。
4－3 内部设计
接下来，进行用设计轨迹线无法被设计出来的内部领域的设计。在内部设计中留意点不会对外部的角产生影响。满足这种条件的内部设计方法有很多，但是这次因版面有限只能先介绍“设计轨迹线的再延长”这一种方法了。这是在4－1中接触到的设计基准线的适用性的扩大。也就是如图27所示把A线和B线作为一条设计基准线再次延长设计轨迹线。通过这样可以得到如图28所示的设计，剩余额三角形的部分则如图29所示。得到这个结果后，作为基本设计的最终检验，必须像图30一样确认对角的必要的圆形领域的描绘，必要的角的成立性。因为在这个时候在D内部的设计干涉到了其他部分，就可以明白有一些必要的角可能会折不出来的事实，因此针对这个问题对内部设计实施改进，可以得到如图31所示的展开图。用这个展开图实际折成的作品的最终完成图就像图32那样。
5．作为折纸作品的洗练化
虽然通过这样的设计大概就能得出作品来，但是在实际折纸的场合，我发现那折纸的工程是相当的复杂。其中一个理由便是，折不规则的展开图有相当大的困难。也就是说从折纸的特质上来说，因为根据所要折的东西，通常会用分割纸张的方法，对于可折出的比率与角度在某种程度上被限定住的问题，限制设计的是，大多数时候，因为有着依赖直尺和圆规无法的到的复杂比率，只有折纸工程是折不出来的。在那样的情况下，为了提高作为折纸作品的完成度，为了达到以根据设计得到的展开图为基础作为折纸工程也可以成立的目的，就相应产生了洗练化（也可以理解为升华吧）的需要。实际上那是比率的修正和去除不要的内部设计部分的工作。这么说来，考虑到这件事上的时候，设计说到底只是决定折纸构造的大方向而已，可以说最终的设计还是要拜托给创作者的感性认识。由图33是通过对先前得到的设计（图31）的实际的洗练化的例子，对这个折出来的造型实施润色修饰，最终完成了图34的羚羊。
6．尾声。
最后想通过介绍些其他的方法来结束这篇文章。为了得到如图36的鹿，使用这次介绍的方法，最终得到如图39所示的作品。
以上所叙述的折出角的方法，当然是把造型和理论的延续放在首位，今后也会根据各种各样的理论进行发展，不断创作出新的作品来。
图36 作品图片 图37 基本树型构造化
图38 基本设计展开图（洗练化后）
图39 折成图
参考文献
1前川淳 著/笠原邦彦 编《万岁！折纸》（1982）
2 目黑俊幸 《实用折纸设计法》，折纸探侦团 7－12号（1991）
3 川田文昭 《在折纸造型中折出角的手法》 第二届折纸的科学国际会议（1994）